由转移概率定义的Markov-Feller算子的不变测度的存在性与唯一性

摘要

Markov-Feller算子起源于对离散时间的时齐Markov链的遍历性的研究，最早出现于Feller过程（一类Markov过程）。Markov-Feller算子的遍历论已经被广泛地应用到动力系统、概率迭代函数系统、随机微分方程解的稳定性以及测度卷积的研究等领域。不变测度的存在性与唯一性是遍历论研究中的主要课题，也是Markov-Feller算子研究的主要内容[45]。
　　迭代函数系统是研究多个映射的迭代的一类特殊Markov链，起源于动力系统理论。现在迭代函数系统不仅作为研究分形理论的工具，还被广泛应用于自回归时间序列、图像处理理论、随机动力系统等领域。因此迭代函数系统的研究和推广具有非常重要的理论价值。有限迭代函数系统的理论已经比较成熟，很多学者对此做了大量的研究工作[46]。
　　本文的主要研究问题如下:
　　第三章在Markov算子S等度连续的条件下，研究了完备可分度量空间中由转移概率定义的Markov-Feller算子的不变测度的存在性和唯一性条件，主要方法是利用测度序列的一致胎紧性。不变测度的存在性一直是Markov算子的遍历理论研究中最重要的问题，唯一遍历性是指Markov链只有一个不变概率测度，它刻画了Markov链的稳定分布的唯一性，唯一遍历性比不变测度的存在性要强。遍历分解定理说明了基本遍历测度是不变概率测度空间中的“基本元素”，不变概率测度可以表示成基本遍历测度的积分形式。因此，对遍历分解的研究有助于刻画不变概率测度的存在性和唯一性。Yosida[30]给出了紧空间上具有不变概率测度的Markov算子的遍历分解定理。R.Zaharopol[25]研究了局部紧空间中的具有不变概率测度的Markov-Feller算子的遍历分解定理，并给出了其遍历测度的支集刻画公式。在Markov算子S等度连续的条件下，本章的定理3.2.3将文献[25]中的遍历分解定理由局部紧的可分度量空间推广到了完备的可分度量空间上，并据此给出了不变测度的存在性和唯一性条件。
　　第四章研究了完备可分度量空间上无限迭代函数系统的遍历性质，其主要定理的证明过程几乎同步给出了不变测度的存在性与唯一性。迭代函数系统作为一类特殊的Markov链，可以利用Markov算子理论对迭代函数系统进行研究。无限迭代函数系统是由无限多个映射生成的迭代函数系统。本章采用了分析的方法，探讨了完备可分的度量空间上具有概率的无限迭代函数系统的遍历性，定理4.3.2将Elton的遍历定理从局部紧空间上的有限迭代函数系统推广到了完备可分度量空间中的无限迭代函数系统，其证明方法与[36][37]都不同，即不依赖鞅论中的极限定理，也不用Banach极限理论，因此更为初等和简洁。