多集分裂可行问题的松弛序列投影算法及应用

摘要

分裂可行问题（SFP）是最优化领域的重要研究课题,多集分裂可行问题(MSFP)作为分裂可行问题的重要的拓展问题之一,2005年被Censor提出.多集分裂可行问题就是在一系列非空闭凸集的交中取一点,且使它在某一线性变换下的像属于另一系列非空闭凸集的交.近些年来它在信号处理、图像恢复以及增强放射的医疗处理中得到了广泛应用.该问题自提出以来,已经引起了国内外许多学者的兴趣,他们相继提出了一些求解方法.但是大多数的算法要么牵涉到往闭凸集上的投影,而这一投影在实际操作中往往难以实现;要么在求解合适步长过程中需要计算ρ(ATA)、估计Lipschitz系数,或进行线搜索，而这些在操作中往往同样的难以实现或需要太多的计算.2014年刘和屈在解决分裂可行问题的时候，设计了步长可以直接计算的类CQ-算法,使得计算量大大减少.随后,刘和屈又用同样求步长的方法,提出了序列投影算法,顺利地解决了多集分裂可行问题.序列投影算法虽有可以直接计算的步长,但其却牵涉到往闭凸集上的投影,本文针对这一不足,设计了松弛序列投影算法,使得算法简单有效.全文共分为四章,结构如下:
　　第一章阐述多集分裂可行问题的的来源及应用背景,介绍多集分裂可行问题的研究现状及本文的主要工作.
　　第二章首先对多集分裂可行问题的一个特例—带1-范数约束的分裂可行问题进行了研究.在序列投影算法的基础上提出了交替投影算法,顺利求得了带1-范数约束的分裂可行问题的解.更进一步,考虑到往闭凸集上的投影是难于实现,在本章的后半部分,对闭凸集进行了松弛,提出松弛交替投影算法，并证明了由该算法产生的点列收敛到带1-范数约束的分裂可行问题的解.
　　第三章利用构造半空间的方法对闭凸集进行松弛,从而提出松弛序列投影算法,以此来求解一般形式的多集分裂可行问题,成功避免了序列投影算法牵涉到往闭凸集上的投影,使得算法变得简单有效,我们还证明了由该算法产生的点列收敛到多集分裂可行问题的一个解.
　　第四章基于松弛序列投影算法,整合了与其相关、类似或其拓展算法,并求解了带2-范数约束的分裂可行问题.

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符号说明

第一章 绪论

1 .1引言

1 .2多集分裂可行问题的研究现状

1 .3 本文的主要工作

第二章 带1-范数约束的分裂可行问题的投影算法

2.1 引言

2.2 预备知识

2.3 交替投影算法及其收敛性分析

2.4松弛交替投影算法及其收敛性分析

2.5 数值实验

2.6 本章小结

第三章 多集分裂可行问题的松弛序列投影算法

3.1 引言

3.2 松弛序列投影算法

3.3 本章小结

第四章 松弛序列投影算法的拓展应用

4.1 引言

4.2 带2-范数约束的分裂可行问题的解

4.3压缩传感的松弛问题的凸松弛算法及序列投影算法

4.4本章小节

参考文献

攻读硕士期间撰写的论文及参与课题情况

致谢