非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解

摘要

随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题已日益引起人们的广泛关注.因此研究非线性问题的学科一非线性分析，是现代数学中既有深刻理论意义,又有广泛应用价值的研究方向，从而成为现代数学中的重要研究方向之一.
　　 非线性微分方程边值问题在自然科学和工程技术中有着广泛的应用.积分边值问题起源于物理学和化学等应用科学，包括常微分方程两点边值问题和多点边值问题作为特殊情形.
　　 本文利用上下解方法，不动点指数理论和锥拉伸压缩不动点定理，研究了几类非线性问题正解的存在性，唯一性及多个正解的存在性；这些问题包括积分边值问题，非线性积分方程及2n阶非线性常微分方程组两点边值问题.
　　 本文共分为四章：
　　 在第一章中，我们利用上下解方法，研究了如下二阶非线性Sturm-Liouville积分边值问题
　　 正解的存在性和唯一性，其中p∈C1([0,1],(0,+∞)),q∈C([0,1]，R+),R+:=[0,+∞),αi≥0,βi≥0,α(?)+β(?)≠0(i=1,2);
　　 对(?)x∈[0,1],bi(x)(i=1,2，…n)非负连续且都不恒为零，0＜α1＜α2＜…＜αn＜1;α，β在[0,1）右连续，在t=1左连续，且在[0,1]上单调不减，α(0)=β(0)=0,∫01u(τ)dα(τ),∫01u(τ)dβ(τ)分别为u对α和β的Riemann-Stieltjes积分.
　　 本章是受文献[1-3]的启发，在郭大钧文[1]的基础上，一方面把简单的两点边值问题推广为Suturm-Liouville积分边值问题，另一方面，建立了一个关键的引理将原来的条件减弱，因而推广和改进了郭大钧教授的一些结果.
　　 在第二章中，我们利用锥上的不动点指数理论，研究了如下Strum-Liouville积分边值问题正解的存在性及个数问题.
　　 其中p∈C1([0,1],(0,+∞)),q∈C([0,1],R+),R+:=[0,+∞),f∈C([0,1]×R+,R+),g∈C([0.1]×R+,R+)，且αi≥0，βi≥0,α(?)+β(?)≠0(i=1,2);α，β同上.
　　 在第三章，我们用锥上的不动点指数理论，研究如下非线性Hammerstein积分方程组边值问题正解的存在性及个数问题.
　　 其中G(?)Rn为有界闭域，k∈C(G×G,R+)，f∈C(G×R+×R+,R+).g∈C(G×R+×R+,R+).本章用凸函数刻画非线性项的耦合和增长行为，这与[3]中用凹函数刻画非线性项的耦合和增长行为的做法是不同的.
　　 在第四章，运用锥拉伸压缩不动点定理和降阶法研究如下2n阶方程组边值问题的正解的存在性及个数问题：
　　 其中n≥2,f∈C([0，1]×R(?)，R+)(R+：=[0,+∞)),g∈C([0,1]×R(?),R+)，αi∈R+，βi∈R+(i=1,2),α0α1+α0β1+α1β0＞0.本章推广了现有文献中的结果.

目录

文摘

英文文摘

第一章 多项式型Sturm-Liouville积分边值问题正解的存在唯一性

§1.1 引言

§1.2 预备知识

§1.3 主要结果

§1.4 多项式型两点边值问题的正解

第二章 非线性Sturm-Liouville积分边值问题的正解

§2.1 引言

§2.2 预备知识

§2.3 主要结果

第三章 非线性Hammerstein积分方程组的正解

§3.1 引言

§3.2 预备知识

§3.3 主要结果

§3.4 应用

第四章 一个高阶方程组边值问题的正解

§4.1 引言

§4.2 预备知识

§4.3 主要结果

参考文献

硕士期间完成的论文

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