平面图着色及多项式在Potts模型中的应用

摘要

本论文主要研究的是关于平面图的着色问题，根据对色多项式的零点问题的讨论，来计算平环中n个区域的着色数目以及将其剖分后的着色数目，从而得出一些相关的结论.又由于图的色多项式与Potts模型的分拆函数及纽结的多项式有一定的联系，因此本文又将色多项式应用到了统计力学和纽结当中.
　　本篇论文的主要研究方法是对平面图着色提供了一个新的渠道，即通过对图的色多项式的计算来讨论平环中n个区域图Gn及其剖分图G*n的着色数目，并对比图剖分前后着色数目的变化来归纳总结出一些结论.为了本文的顺利完成，首先，对图论知识、纽结理论及统计力学的知识进行回顾，然后对一些特殊的图形分别进行了讨论：第1类讨论了n个区域图Gn的最小着色数目；第2类对区域图Gn进行广义剖分，讨论剖分后图的着色数目的变化，也给出了相应的例子；第3类将两个平环组合在一起，使两个区域图Gt和Gs具有一条公共边，讨论组合图及其广义剖分后图的着色数目；第4类将三个平环组合在一起，讨论三个区域图Gm，Gn，Gt两两具有一条公共边的着色数目；第5类对区域图Gn进行三角剖分，讨论剖分后图的着色数目的变化.
　　最后根据色多项式和Potts模型分拆函数之间的联系，在平环的区域图上建立Potts模型，通过对平面图剖分前后的着色数目的讨论，来研究Potts模型分拆函数的相应变化.又根据色多项式和纽结的方括号多项式之间的联系，计算了几个特殊纽结的色多项式，从而得出一些结论.

目录

声明

引言

1预备知识

1.1图论中的一些定义

1.2 纽结和平面图

1.3 图的多项式

1.4 广义剖分和三角剖分

1.5 统计力学中的Potts 模型

1.6 纽结多项式和图的多项式之间的关系

1.7 图的多项式与Potts 模型的分拆函数的关系

1.8 纽结多项式和Potts 模型的分拆函数的关系

2讨论平面图的着色数目

2.1平环中n个区域图的着色数目

2.2 对平环中n个区域图进行广义剖分后的着色数目

2.3 由两个区域图G m和G n所组成的图及其广义剖分后图的着色数目

2.4 由三个区域图Gm和Gn ，Gt所组成的平面图的着色数目

2.5将平环中n个区域图G n三角剖分后的着色数目

3 多项式在Potts 模型中的应用

4 双色多项式在纽结中的应用

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢