薄体结构热传导问题的边界元解法

摘要

随着各向异性材料应用的日益广泛，人们已经不仅限于对各向同性介质问题进行研究，也逐渐将研究工作拓展到各向异性介质。在各向异性热传导问题中，材料性质参数较各向同性问题增加了很多，这使得用边界元法求解各向异性问题时，基本解的确定相对各向同性问题更加困难。本文提出了一种用边界元法求解一般变系数各向异性热传导问题时建立基本解的方法，并导出了求解一般二维和三维各向异性稳态热传导问题的边界积分方程。所建立的基本解考虑了导热系数是空间坐标的函数，因此所导出的积分方程可用于求解一般非均质材料的传热问题。对于热源项引起的域积分，本文运用径向积分法将其转换成边界积分，从而形成不需要内部网格的边界元算法。
　　现代科技的发展极大地促进了薄体结构在各类工程中的广泛应用。由于几何形状的特殊性，求解薄体结构内温度场问题一直是边界元分析的难点之一，其实质是几乎奇异积分的精确计算问题。近年来，国内外学者关于几乎奇异积分的计算方法进行了大量的研究，且提出了许多关于几乎奇异积分的计算方法，如虚边界元法、区间分割法、精确积分法、变换法和特别Gaussian积分法等。本文对几乎奇异积分处理方法进行了改善，并将其用于变系数各向同性热传导问题的边界元法分析中。首先，采用Newton-Raphson迭代算法确定积分单元上离源点最近的点;然后，将积分单元上任意一点的坐标在最近点处展开成泰勒级数，用源点到积分单元的最短距离来表述源点到积分单元上任意一点的距离;最后，将距离函数代入几乎奇异边界积分中，并运用指数变换方法导出可以直接利用高斯积分公式进行数值计算几乎奇异积分的计算公式。
　　本文还建立了用边界元法求解各向同性热传导问题的对偶边界积分方程。该方法基于一般均匀三维热传导问题的基本解，先将温度边界积分方程对空间坐标求导，得到通量边界积分方程。通量边界积分方程在薄体结构两个距离较近面中的一个面的单元节点上配点，而温度边界积分方程则在剩余其它面的单元节点和区域内部计算点上配点，这样，形成了线性无关的完备方程组。
　　基于上述理论，编写了Fortran计算程序，完成了数值算例，且通过算例分析验证了相关方法的正确性和有效性。