具退化扩散与非局部性聚集的KelleR-Segel方程

摘要

本文考虑如下具有退化扩散与非局部聚集的Keller-Segel方程ut-△um+▽·（uB（u））=0,(x,t)∈Rd×R+,其中维数d≥3，B（u）=▽（（-△）-β/2u），β∈[2，d]，1＜m＜2-β/d.利用Riesz核Iβ(x)=1/γ(d,β)|x|β-d，γ(d，β)=πd/22βΓ(β/2)/Γ(d-β/2)，B（u）可以表示为如下卷积形式B(u)=▽（Iβ*u）=-Sd,β∫Rdx-y/|x-y|d-β+2u(y)dy，其中Sd,β=d-β/γ(d,β)＞0.本文研究模型解的性态，包括弱解的整体存在与唯一性，以及弱解的有限时刻blow-up.
　　全文分以下五个章节:
　　第一章简述模型的背景及研究现状.
　　第二章讨论在一般条件下模型解的性态.证明了对m∈（1，2-β/d），存在常数Cd,m＞0，使得如果初值‖u0‖p＜Cd，m，p=d(2-m)/β，那么弱解整体存在;如果初始自由能泛函满足F[u0]＜0（蕴含‖u0‖p＞Cd，m），那么弱解有限时刻blow-up.此外，还得到整体弱解的衰减估计.
　　第三章限制在指标范围m∈（2-2β/d+β，2-β/d）(C)（1，2-β/d)进一步讨论解的整体存在性与有限时刻blow-up，在该指标范围建立区分解整体存在与有限时刻blow-up的最佳临界.最佳临界的证明依赖于自由能泛函与HLS不等式之间的关系.
　　第四章讨论弱解的唯一性，利用最优传输方法，得到在Wasserstein距离意义下整体弱熵解的稳定性与唯一性.
　　第五章给出本文主要结果的总结以及未来工作的展望.

目录

声明

摘要

主要符号表

1 绪论

1．1 背景与选题依据

1．2 研究现状

2 具退化扩散与非局部聚集的K-S方程

2．1 问题介绍

2．2 预备知识

2．3 定理与证明

2．3．1 整体存在性

2．3．2 有限时刻blow-up

2．4 本章小结

3 关于整体存在与有限时刻blow-up的进一步讨论

3．1 引言

3．2 定理与证明

3．3 本章小结

4 唯一性

4．1 引言

4．2 预备知识

4．3 定理与证明

4．4 本章小结

5 结论与展望

参考文献

攻读博士学位期间科研项目及科研成果

致谢

作者简介