特征不为2的代数闭域上的4维H4-模代数的完全分类

摘要

近几十年来，Hopf代数和量子群的研究一直是代数学研究中的热点，它和数学物理有着深刻的联系。H4-模代数在Hopf代数和量子群研究中起着非常重要的作用，人们已经深入的研究了H4-模代数的各种性质。另一方面，各种代数系统的结构及其分类是代数学的重要研究课题，1975年Gabrel在[1]中提出了代数的几何分类概念，并对4维代数进行了代数分类和几何分类，受此启发人们先后研究了5维代数、4维超代数等代数结构的代数分类和几何分类。2006年，Chen和Zhang在文献[6]中对特征不为2的域上的4-维Yetter-Drinfeld H4-模代数给出了代数分类。2009年，Armour、Chen和Zhang在文献[7]给出了4维超代数的代数分类。本文就是在这些研究成果的基础上，研究特征不为2的代数闭域上4维微分超代数，即4维H4-模代数的代数分类。
　　 本文的结构安排如下，第一部分，给出本文需要用到的一些基本概念，如Hopf代数、微分超代数、H4-模代数和Yetter-Drinfeld H-模代数等概念，并将文献[7]中给出的4维超代数的分类进行简化，给出了这些代数结构的一个新的描述。第二部分，首先在第一部分中给出的4维超代数的基础上，考虑这些超代数可能的微分结构使得它们成为微分超代数，即H4-模代数，得到了一些H4-模代数，然后研究这些H4-模代数的同构关系，并在每一个同构类里选取一个代表元，这样就得到了一些互不同构的4维H4-模代数。第三部分，我们利用拟三角Hopf代数表示的一般性理论，通过考察文献[7]中给出的4维Yetter-DrinfeldH4-模代数，证明任一个4维H4-模代数必定同构于第二部分中给出的H4-模代数代表元之一。这样我们就完成了4维微分超代数，即4维H4-模代数的代数分类。