二阶变系数非线性偏微分方程之间Miura变换的分类

摘要

本文研究形如uxx=F（x，t，u，ux，ut）的二阶非线性偏微分方程由形如{vx=w(x，t，v）+u，vt=ζ(x,t,v,u)+η(x,t,v,v)ux.的可积系统所定义的Miura变换u(→)v的分类问题，其中函数F，w，ζ，η都显含自变量x和t.由于从可积系统的第一个方程可解出u=vx-w(x，t，v)，将之代入可积系统的第二个方程即可得到v所满足的非线性偏微分方程，因此在分类过程中不必预先假设v方程的具体形式。
　　 本文证明了这样的非线性偏微分方程及其相应的可积系统等价于以下四类。
　　 第一类:非线性偏微分方程为uxx=ft+gα+gr-hf-hu-αx-rx+（g-αu）ux+ut，相应的可积系统为{vx=f(χ，t)+g(χ，t)v+u，vt=α(x,t，u)+h(x，t)v+r（x,t）+ux，其中f(x，t)，r(x，t)，α(x，t，u)(≠0)是相应变量的任意光滑函数，而光滑函数g，h满足gt=hx。此时v满足非线性偏微分方程vt=α(x，t，vx-f-gv)+hv+r+vxx-fx-gxv-gvx;
　　 第二类:非线性偏微分方程为uxx=p(x,t，u)+(c2+2c3u)ux+ut,相应的可积系统为{vx=W(x，t，v)+u，vt=ζ（x，t，v，u）+ux，其中函数w,ζ，p由下列公式确定w(x，t，v)=λ-c3x/c3v+e-c3v，ζ(x，t，v，u)=-c3x/c3u-c3e-c3vu+e-c3v（-3c3x/c3+c3λ-c2）-c3t/c3v-c1-c2u-c3u2+G(x,t)，p(x，t，u)=wt+wvζ-ζx-ζv（w+u），c1(x，t)，c2(x，t)，c3(x，t)(≠0)，λ(x，t)是任意光滑函数，而函数G由下列公式确定G(x，t)=c1-λc2+λ2c3-λx+c2x-5λc3x/c3+c3t+3c3xx+c2c3x/c32.此时v满足非线性偏微分方程vt=ζ(x，t,v，vx-w）+vxx-wx-wvvx.
　　 第三类:非线性偏微分方程为uxx=-hu2+（λt+μr+μβ-hλ-rx-βx）u+（-uβu+μ）ux+ux2/u+uut，相应的可积系统为{vx=λ(x，t)+μ(x，t)v+u，vt=h(x，t)v+r(x，t)+β(x，t，u)+ux/u，其中λ(x，t)，r(x，t)，β(x，t，u)(≠0)是相应变量的任意光滑函数，而光滑函数μ，h满足μt=hx。此时v满足非线性偏微分方程vt=h(x,t)v+r(x，t)+β(x，t，vx-λ(x，t)-μ(x，t）v）+vxx-λx-μxv-μvx/vx-λ(x,t)-μ(x,t)v;
　　 第四类:非线性偏微分方程为uxx=p（x，t，u）+[c1ulnu+(c1+c2)u-3c1x/c1+λc1]ux+ux2+uut，相应的可积系统为{vx=w(x，t，v）+u，vt=ζ(x，t，v，u)+ux/u，其中w(x，t，v)=λ-c1x/c1v+e-c1v，ζ(x，t，v，u)=c1t/c12+c1xc2/c12+c1c2x/c12-[c1e-c1v+λc1-2c1x/c1+c1u]lnu-c2u-c2e-c1v-c1t/c1v-c2λ，p(x，t，u)=uwt+uwvζ-uζx-uζv(w+u)，c1(x，t)(≠0)，c2(x，t)，λ(x，t)是任意光滑函数。此时v满足非线性偏微分方程vt=ζ(x,t,v，vx-w)+vxx-wx-wvvx/vx-w.作为上述Miura变换的应用，本文最后给出几个例子，选取u方程的平凡解，通过求解相应的可积系统而得到相应v方程的解。

目录

摘要

第一章 引言

第二章 预备知识

第三章 Miura变换的分类

第四章 Miura变换的应用

参考文献

致谢

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