矩形深梁振动精确化理论及其分析

摘要

梁理论的发展历史悠久，出现了各种各样经典的梁理论。常用的主要有Euler-Bernoulli梁理论、Rayleigh梁理论以及Timoshenko梁理论。传统的梁理论获取振动控制的微分方程都是采用基于微元体平衡的方法，采用诸多假设条件推导而来的。但实际上固体结构中的应力和应变情况都是十分复杂的，梁中的应力和应变情况也不像经典理论中采用的假定条件那么简单，所以运用以上梁理论来分析复杂结构和结构高阶模态时，其结果的误差是不言而喻的。Han，Benaroya和Wei对比了这四种梁理论模型在不同的支座条件下的结果差异，结论表明:Timoshenko梁理论的精准度是最好的，但同时其计算也是最繁杂的;Euler-Bernoulli梁模型的精准度是最糟糕的，但其振动控制方程却最简单。如果只是考虑梁的低频情况，那么以上经典梁理论的结果的精确程度都是满足工程要求的。
　　随着梁厚度的增大，采用传统力学方法去分析计算现代结构就会与实际结果之间存在较大的误差，尤其是动力学方面。目前，许多梁的高跨比早已超出了经典结构理论的适用范围。随着现代结构工程的发展，有时必须考虑高阶振动模式，研究梁结构的更为精确化的振动模型变得十分重要。因此，要求给出深梁结构更加精确化的动力学模型及其控制方程，以便更好地分析厚壁结构的动强度、振动响应以及实施振动控制。
　　本文的主要研究工作如下:
　　1.与经典梁理论的获取控制方程的方法不同，本文基于厚板结构振动精确化方程，应用算子代数及其谱分解理论，采用适当的规范条件和满足板条两侧面边界条件，给出了更为精确化的深梁结构弯曲振动和拉伸振动的支配方程。为验证模型的正确性，本文将得到的深梁结构弯曲自由振动方程分别与基于Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁理论绘制出的结构内存在的波模频散关系曲线做了比较，对梁结构的振动理论的适用条件作了分析。同时，还分析讨论了梁结构中的频谱究竟是存在两个振动模式还是三个振动模式的经典问题。本文由于没有采用任何工程假设，所以能更好地考虑横向剪切变形和转动惯量的影响。
　　2.本文还基于在横向荷载作用下的厚板结构弯曲振动的精确化控制方程，应用算子半群及其谱分解理论，采用适当的规范条件和满足板条两侧边界条件的方法，给出了考虑横向荷载作用的深梁结构弯曲振动的精确化方程。支配方程的总阶数为4阶，即关于横向位移函数的4阶偏微分方程。本文提出的方程在形式上与Timoshenko梁理论的方程形式是一致的，只是方程的系数不同。
　　3.在第四章中，运用本文的梁理论分析计算了悬臂梁梁结构的振动固有频率，通过数值计算给出了梁结构振动的前十阶固有频率，并将结果与基于Timoshenko梁和Euler-Bernoulli梁理论得到的数值结果进行了对比分析。结果表明:本文提出的梁理论对于高跨比较大的深梁的固有频率的预测相比于Timoshenko梁理论的预测略有降低，所确定的频率具有更好的精确性，对于深梁和高阶频率的确定具有更佳的适用性。
　　4.本文的最后，同样基于平板拉压振动精确化方程理论，运用相同的推导方法给出了梁在横向荷载作用下的拉压振动的精确化方程，并与现有的理论进行了对比。传统的杆件拉伸理论同样是基于微元体的平衡，运用D'Alembert's原理推导出来的。本文给出的矩形梁的拉压振动的精确化方程是四阶的，由于不采用任何工程假设，摒弃了传统理论的假设，因而本理论给出的控制方程具有较高的精确度。

目录

摘要

第1章 绪论

1．1 课题的来源及研究的目的、意义

1．2 关于梁横向振动建模研究的概要

1．3 本文主要研究内容

第2章 矩形深梁结构弯曲自由振动精确化方程新形式

2．1 引言

2．2 矩形深梁结构弯曲自由振动的精确化控制方程

2．3．矩形梁精确化方程的分析

2．4 本章小结

第3章 横向荷载作用下矩形深梁结构弯曲振动的精确化方程新形式

3．1 引言

3．2 梁结构弯曲强迫振动的精确化方程

3．3 深梁结构振动精确化方程的考量

3．4 本章小结

第4章 矩形梁弯曲振动固有频率精确化分析计算

4．1 引言

4．2 Timoshenko梁弯曲自由振动固有频率的计算分析

4．3 矩形深梁弯曲振动结构固有频率的精确化计算分析

4．4 数值算例

4．5 本章小结

第5章 矩形梁拉压振动精确化动力学方程及其分析

5．1 引言

5．2 矩形梁结构拉压振动精确化微分控制方程

5．3 矩形梁拉压精确化方程的考量与讨论

5．4 本章小结

第6章 结论与展望

6．1 结论

6．2 进一步研究的方向

致谢

参考文献

攻读学位期间发表的学术论文

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