带有分数阶拉普拉斯算子的静态Hartree方程的正解的分类

摘要

这篇文章中，我们主要研究分数阶静态的Hartree方程（-△）α/2u=pup-1(|x|α-n*up)， u＞0， x∈Rn，的正解的性质，其中n＞1，α∈(1，n)，p＞1.上述方程可以理解为如下的含有Riesz位势的积分系统{u(x)=√p∫Rn up-1（y）v（y）dy/|x-y|n-α， u＞0，x∈Rn，v(x)=√p∫Rn up(y)dy/|x-y|n-α, v＞0， x∈Rn.论文由三部分组成，我们分别在第二章到第四章中阐述。
　　第二章主要阐述了积分方程可以看作微分方程在某种意义下的等价形式。其中，傅里叶变换起到重要作用。此外，利用反证法，我们通过放缩和敛散性推出矛盾，从而得到积分方程的解存在的一个必要条件。
　　第三章主要给出正解分类的一系列等价条件。其中，Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，压缩映射诱导的正则提升引理和积分形式的移动平面法均扮演本质角色。
　　第四章主要讨论了解的光滑性提升。本章由两部分组成，第1部分我们利用4个论断结合压缩映射原理证明解有更好的可积性，再利用古典的奇异积分估计证明了解是可微的。第2部分我们利用2种方法证明解的可积性蕴含着临界条件。法一:利用积分方程，直接推导积分形式的Pohozaev恒等式，我们可以得到使解可积而包含的临界指标。法二:利用微分方程的变分结构，从泛函的伸缩变换性质推导Pohozaev恒等式，我们也能得到相同结论。

目录

声明

摘要

第1章 引言

第2章 等价性和不存在性

第3章 分类：不同条件下解的性质

第4章 正则性提升

参考文献

致谢