两个非线性演化方程的行波解研究

摘要

在物理、力学、化学、生物学和经济学等领域，很多的模型都是非线性偏微分方程。为了便于对物理现象以及其他现象的描述和理解，对非线性偏微分方程求解变得越来越重要。浸入K(3,2)方程和变形Fornberg-Whitham方程是两个具有实际背景的非线性演化方程，对它们的行波解研究具有重要的实际价值。
　　对于浸入K(3,2)方程，通过行波变换，将方程转化为平面动力系统。利用平面动力系统分叉法，获得系统的分叉曲线。进而给出系统的相图。根据相图获得了浸入K(3,2)方程的光滑孤立波解的存在性，给出了紧致孤立波解、尖峰孤立波解和周期尖峰波解的精确表达式。同时，对行波变换下的常微分方程用Maple作数值模拟，结果表明理论分析和数值模拟是一致的。
　　对于变形Fornberg-Whitham方程，通过新的行波变换，利用平面动力系统分叉法获取系统的分叉曲线，根据系统的相图，得到了变形Fornberg-Whitham方程的新的光滑孤立波解和尖峰孤立波解。推广了现有文献中已经获得的结果。同时还证明了该方程的有理函数形式的新型尖峰孤立波解是方程的弱解。
　　研究获得的解的精确表达式有助于人们深入直观地了解这两个非线性演化方程所描述的物理过程。同时这些精确解的表达式也可以用于验证一些偏微分方程数值方法的可靠性。