特殊矩阵及其在最优化与高振荡数值积分中的应用研究

摘要

特殊矩阵是矩阵分析和数值代数中重要的研究课题之一，其研究成果在最优化理论、计算数学、控制论、力学、管理科学与工程等领域中有着广泛的应用.但实际应用中，对特殊矩阵尤其是大型特殊矩阵的判定还存在许多困难，因此研究特殊矩阵的判定方法具有重要的理论价值和实际意义.线性互补问题是一类在经济学、对策论、工程与交通平衡等领域广泛应用的优化问题；高振荡函数数值积分是广泛存在于量子化学、医疗图像、信号处理、流体力学等众多问题中的公认的数学难题.
　　 本文主要研究了H-矩阵，矩阵范数下广义块对角占优矩阵的判定方法；P-矩阵和H-矩阵线性互补问题；高振荡Fourier型积分的数值计算.全文由如下部分组成：
　　 第一章简述了选题的背景和意义以及本文的主要工作.
　　 第二章研究了H-矩阵的判定问题.利用广义严格α-对角占优矩阵与H-矩阵的等价性定义了一种新的H-矩阵的子类，使用构造判别法给出了H-矩阵的一组判别方法；利用矩阵的Schur补对矩阵作降阶处理，给出了H-矩阵的一组等价条件；通过改进迭代因子和利用交叉迭代来减少迭代次数，给出了H-矩阵的一种迭代判别算法.
　　 第三章研究了矩阵范数下广义块对角占优矩阵的判定问题.通过利用不等式的放缩技巧，考虑分块矩阵元素的范数，从整体和任意分划的角度给出了广义块对角占优矩阵的一组判别方法.当块矩阵退化成点矩阵时，这些判别法即为广义对角占优矩阵的判别法.
　　 第四章研究了特殊矩阵在最优化问题中的应用，我们主要研究的是特殊矩阵线性互补问题.给出了P-矩阵线性互补问题解的灵敏度分析；建立了H-矩阵线性互补问题一个可计算的误差界；对具有正对角元H-矩阵线性互补问题投影BAOR分裂法和投影BSAOR分裂法的收敛性进行了分析，给出了收敛率.结果表明，线性互补问题块分裂方法和相应的线性方程组块分裂方法有相同的收敛率.
　　 第五章研究了高振荡函数积分的数值计算问题.探索了计算高振荡函数积分高效数值方法中的特殊矩阵问题；对高振荡Fourier型积分，给出了一种新的高效Levin型配置法，和Levin配置法比较，精度更高且容易实现；对振幅函数存在奇异性的Fourier型积分，给出了其渐近展开式，并应用到Filon型方法，给出了Filon型方法的渐近阶.