一种求解线弹性问题的基于Laplace算子的并行DDM预条件子

摘要

线弹性方程是许多实际力学应用问题的基本方程，有限元方法是数值求解该方程最常用的离散方法，但要精细地求解相应的离散化代数系统还面临着大规模和高效率等难题的困扰，因此为其设计高效快速算法尤其重要。
　　本文针对三维线弹性问题的高效并行求解开展研究。首先利用弹性算子与Laplace算子的谱等价性，分别设计了两种基于Laplace算子含简单粗空间的非重叠DDM加性预条件子B+Δ和乘性预条件子B×Δ，它们均由三类具有较低算子复杂度的子系统构成；接着基于 MPI和 OpenMP并行编程环境，结合代数自由度多色分组的思想，分别设计了B+Δ和B×Δ的并行算法并研制了相应的并行程序模块。由于Laplace算子比弹性算子的算子复杂度更低、三类子系统之间天然的并行性和第二类与第三类子系统内部天然并行性，因此本文新设计的B+Δ具有算法复杂度低、并行可扩展性好等特点；B×Δ进一步加速了加性预条件子的收敛速度，但增加了通信开销。数值对比实验表明，与已有的基于弹性算子的加性预条件子B+E相比新设计的两种预条件子在求解效率和可扩展性方面具有明显优势。特别地，当所求问题规模为md=8,k=16时，新设计的加性预条件子B+Δ比B+E单进程和8进程的求解时间分别加速了3.56倍和2.48倍。

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第一章 引言

第二章 预备知识

§2.1 若干记号与基本知识

§2.2 一种基于代数多色分组的AMG算法

第三章 两种基于Laplace算子含简单粗空间的非重叠DDM预条件子

§3.1 线弹性模型方程与离散化线性系统

§3.2 Laplace算子与弹性算子的谱等价性

§3.3 两种含简单粗空间的DDM预条件子

§3.3.1 加性预条件子B+Δ

§3.3.2 乘性预条件子B×Δ

§3.4 数值实验

第四章 两种DDM预条件子的并行程序设计

§4.1 加性预条件子的并行程序设计

§4.1.1 并行策略

§4.1.2 并行算法

§4.1.3 数值实验

§4.2 乘性预条件子的并行程序设计

§4.2.1 乘性预条件子的红黑序并行算法

§4.2.2 数值实验

总结与展望

参考文献

致谢

个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果