分数微分方程近似解法和数值解法研究

摘要

分数阶微积分是相对于传统意义上的整数阶微积分提出的。由于分数阶微积分良好的记忆和遗传性，分数阶微积分理论被广泛的应用到自然与科学的各个领域，尤其是控制理论，粘弹性理论，电子化学，分形理论等领域。
　　同时大量的研究成果的面世也极大地推动了分数阶微积分的研究进展，一些学者纷纷投入到这个新兴的研究领域。在分数阶模型的使用中，出现了一系列分数阶微分方程，因此对分数阶微分方程的研究有着十分重要的意义。本人在前人研究的基础上，主要做了以下几个方面的工作:
　　(1)考虑几种Caputo意义下的线性以及非线性分数阶微分方程，运用Mittag-Leffier函数给出了一种新的求解分数阶微分方程近似解的方法。同时给出了具体的实例，进一步验证了该方法的可行性。
　　(2)考虑Riemann-Liouville分数阶初值问题Dαa+y=f(x，y)，y(a)=y0其中0＜α＜1，给出了一种基于欧拉折线法的数值解法。该方法的主要特点是欧拉折线法具有直观的几何意义。在文章中我们给出了具体的算法，并且证明了该算法的收敛性。
　　(3)在欧拉算法的基础上进一步改进，提出了改进的欧拉算法，将算法精度提高了1阶。同时运用Matlab数学软件，针对三个实例，给出欧拉法和改进的欧拉法与真实解的模拟图进行比较，验证算法的适用性以及说明算法的优缺点。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 研究背景及意义

1．2 国内外研究现状

1．3 论文的内容安排

第二章 预备知识

第三章 Mittag-Leffler函数法求解分数阶微分方程

3．1 Mittag-Leffler函数的一些性质和引理

3．2 几种含多个分数阶倒数的线性分数阶微分方程

3．3 几类非线性的分数阶微分方程初值问题

第四章 求解分数阶微分方程的欧拉折线法

4．1 基本的定义和引理

4．2 欧拉折线法

第五章 改进的欧拉折线法及数值模拟

5．1 改进的欧拉折线法

5．2 数值模拟

第六章 总结

6．1 文章的主要结论

6．2 文中两类算法的优缺点

第七章 论文的创新点和对未来的展望

7．1 论文创新点

7．2 未来的展望

参考文献

致谢

附：硕士研究生期间完成的论文