几类分数阶微分方程和随机延迟微分方程数值解的研究

摘要

众所周知,分数阶微分方程作为非整数阶常微分方程的一般化形式,它常常出现在不同的研究领域与工程中,例如：物理学、动力系统控制与化学等.另外,带延迟的随机系统同样在这些科学与工程领域中一直都扮演者重要的角色.本博士论文主要研究几类分数阶微分方程和随机延迟微分方程的数值解.
　　本博士论文可分为六章.
　　第一章,我们介绍了分数阶微分与随机微分方程及其数值解的历史背景和近期研究状况,以及本文的主要研究工作.
　　第二章,研究了具偏差变元Riemann-Liouville分数阶微分方程非线性边值问题的数值解.文中通过借助于单调迭代方法和上下解法,首先定义了两个新的可一致收敛于边值问题解的单调上下解序列,得到了解的存在性结果.然后,建立了数值迭代序列,获得了逼近于真实解的数值逼近解.本章的结果是在减弱了单调性条件下建立的,改进了已有文献结果,最后并给出了数值解的实例.
　　第三章,考虑了Caputo分数阶微分的方程非线性边值问题的数值解,通过定义拟上下解与单调迭代法,构造了拟单调上下解序列,证明其一致收敛性,给出了数值解的迭代序列.同样,本章的工作是对已有的相关文献结果进行改进,在更弱的条件下证明了理论的合理性.
　　第四章,我们首先给出了非线性随机延迟微分方程在多项式增长条件下其全局解的存在唯一性和稳定性结果.其后,证明了带Markov调制的此类非线性随机延迟微分方程理论解的存在唯一性.另外,建立了此方程Euler-Maruyama数值逼近解,且证明数值解是依概率收敛到方程理论解的.本章主要用多项式增长条件代替了线性增长条件,将方程数值解的一些结果推广到了一类非线性随机延迟微分方程中.
　　第五章,主要研究的是具有随时间变化延迟的非线性随机微分方程.首先,我们介绍了此非线性方程在系数满足多项式增长的条件下,解的存在唯一性.其后证明了方程相应的后退Euler-Maruyama数值解,其矩的有界性,和此隐式数值逼近解是强收敛到真实解的.最后给出了非线性随机系统的实例来验证理论.本章结果是将上一章数值解的弱收敛性结论推广到了强收敛性上.
　　第六章中给出了论文简短的总结与研究展望.

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1 绪论

1.1 历史背景

1.2 本文主要内容和研究状况

2 具偏差变元的Riemann-Liouville分数阶微分方程非线性边

2.1 引言

2.2 基本概念与相关引理

2.3 单调的上下解序列

2.4 数值实现与相关算例

3 Caputo分数阶微分方程非线性边值问题数值解

3.1 引言

3.2 基本概念与相关引理

3.3 单调的拟上下解序列

3.4 数值实现与相关算例

4 带马尔科夫调制的非线性随机延迟微分方程的数值解

4.1 引言

4.2 基本概念和假定条件

4.3 SDDE全局解的存在唯一性与稳定性

4.4 SDDEwMS全局解的存在唯一性

4.5 Euler-Maruyama数值方法

4.6 相关算例

5 带变延迟的非线性随机微分方程数值解的强收敛性

5.1 引言

5.2 随机微分方程的全局解

5.3 后退的Euler-Maruyama数值方法

5.4 结合向前与后退的Euler-Maruyama数值方法

5.5 相关算例

6 总结与展望

6.1 本文总结

6.2 研究展望

致谢

参考文献

攻读学位期间发表和完成的论文目录