非线性方程组的一种修正牛顿法及其连续型

摘要

本文主要讨论用一种修正牛顿法求解非线性算子方程。
　　在通常情况下，非线性算子方程的解不能精确解出，而是用数值方法求其近似解。对于求解非线性算子方程，主要采用迭代法。其中，牛顿法是一种普遍适用的迭代法。它的计算格式简洁，程序简单，而且收敛速度快，适用范围广。多年来，众多学者对经典牛顿法提出多种改进方案，求解形如F(x)=θ的非线性算子方程(其中F:D包含于Rn→Rn)，如：萨马斯基提出的修正牛顿法，阻尼牛顿法，拟牛顿法等各种变形。每种形式的变形都有其优点，也有其不足。
　　在解非线性算子方程时，常会遇到这种情况：初值在真解附近，使用牛顿法进行迭代，最终结果却发散，或者收敛到其它解。近二十年左右，有人提出了解决此种情况的几种方案。比如：阻尼牛顿法，A-稳定法，隐式 Runge-Kutta方法，以及一种修正牛顿法。这种新的修正牛顿法，即对牛顿法添加一个修正项，根据经验选取修正项在初值附近，得到了一个收敛的迭代格式。此方法在求解非线性算子方程时更简单易行，但其证明过程不够准确，存在一些问题。
　　本文针对这种修正的离散型牛顿法，给出完善的收敛性证明以及收敛速率，并应用数值算例验证算法的可行性。进一步，提出修正的连续型牛顿法的形式，并给出收敛性证明以及收敛速率。在数值算例中，用 Rosenbrock半隐式方法求解常微分方程初值问题，验证了理论结果。

目录

非线性方程组的一种修正牛顿法及其连续型

A MODIFIED NEWTON METHOD AND ITS CONTINUOUS FOR NONLINEAR EQUATIONS

摘要

Abstract

第1章绪论

1.1课题背景及意义

1.2牛顿法的发展

1.3本文的主要工作

第2章修正的离散型牛顿法

2.1牛顿法的半局部收敛性

2.2修正的离散型牛顿法

2.3数值算例

2.4算法改进

2.5本章小结

第3章修正的连续型牛顿法

3.1求解适定问题的连续型方法

3.2修正的连续型牛顿法

3.3用半隐式方法求解常微分方程初值问题

3.4本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间所发表的论文

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致谢