一维对流扩散方程LDG方法的超收敛性分析

摘要

目前，越来越多的人开始关注方程有限元方法的超收敛性的发展及研究，因为与传统的收敛性相比，具有超收敛性质的方程存在更高精度的解，并且误差在一段时间内是保持稳定的。对流扩散方程是在实际问题中经常会涉及到的一类方程，它能够描述流体运动中各种能量的运动过程以及某些扩散过程等众多物理现象。众所周知，求解扩散方程的标准Galerkin有限元方法是不稳定的。如果把步长取的足够小，那么得到的方程格式的稳定性就越好，但减小步长会使得计算的难度增加，同时计算量也会增大。
　　在本文中，我们利用间断伽辽金（Discontinuous Galerkin，简称DG）有限元方法分析线性守恒律方程的超收敛性，利用局部间断伽辽金有限元（Local Discontinuous Galerkin，简称LDG）方法分析一维对流扩散方程的超收敛性，对两个方程的研究均在第一边界条件下进行。具体地，我们用迎风流通量分析守恒方程的一个真解的特殊投影的超收敛性，用交错流通量分析对流扩散方程的一个真解特殊投影的超收敛性。取分片多项式空间为Pk(k-1)，两个方程在第一边界条件下，都得到了k-32的超收敛阶。对于任意非均匀的网格和分片多项式空间Pk(k-1)，我们的证明都是正确的。有学者利用傅里叶变换给出了均匀网格剖分，分片多项式空间为P1，且在周期边界条件下的超收敛结果，本文在此基础之上取得了更进一步的结果。

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第1章 绪 论

1.1 课题背景及研究目的和意义

1.2 国内外的研究现状及分析

1.2.1国外研究现状

1.2.2国内研究现状

1.2.3国内外研究综述的简析

1.3 本文的主要研究内容

第2章 线性守恒律方程DG方法的超收敛性

2.1 DG方法和LDG方法简介

2.1.1 DG有限元方法

2.1.2 LDG有限元方法

2.2 DG离散格式的构造

2.3超收敛性分析

2.4本章小结

第3章 一维对流扩散方程LDG方法的超收敛性

3.1 LDG离散格式的构造

3.2 超收敛性分析

3.3本章小结

结论

参考文献

声明

致谢