几类非线性分数阶方程和方程组的非负解的对称性和Liouville型定理

摘要

分数阶的拉普拉斯算子是一类用积分定义的非局部的伪微分算子，它可以用来模拟扰动和水波、等离子体的反常扩散、准地转流、相对论中的玻色子恒星等各种不同的现象，它在概率、金融等领域也有着广泛的应用.本博士学位论文讨论了几类非线性的分数阶拉普拉斯方程及方程组的非负解的相关性质和相应的Liouville型定理以及α-调和函数的一些性质.
　　第一部分，我们首先介绍了分数阶拉普拉斯算子的相关知识以及研究的背景和发展现状，然后交代了本文研究的内容和主要结论，最后给出了后面章节定理的证明中要用到的几个引理.
　　第二部分，我们考察Rn中无界抛物区域上分数阶Lane-Emden型方程非负解的性质.该类方程在全空间和有界区域上均有相关的结果，但是对于抛物区域没有找到相关文献.代替由Caffarelli和Silvestre引入的延拓方法和积分形式的移动平面法，我们采用了直接的移动平面法研究该方程的非负解在抛物区域上的单调性和对称性.我们证明了非负解关于某个分量是单调递增的，并且得到方程只有零解的充分条件;另一方面，我们通过对方程的解做Kelvin变换，证明了非负解关于其他（n-1）个分量在临界和次临界时均是径向对称的.
　　第三部分，我们分别在全空间和上半空间考察了带有扰动项的分数阶Hénon方程的正解的性质.我们首先对正解做Kelvin变换，对变换后的函数实施直接的移动平面法，证明在全空间中临界和次临界时正解的径向对称性;然后证明了在衰退条件下正解在上半空间的不存在性;最后证明了上半空间中正解的径向对称性.
　　第四部分，我们分别在抛物区域、单位球和全空间上研究了带有分数阶扩散项的薛定谔方程组正解的性质.我们首先得到了关于此方程组在抛物区域上的狭窄区域极值原理;其次，利用该原理，结合直接移动平面法的思想，证明了该方程组的非负解在抛物区域上关于某个分量是单调递增的，进一步，得到了方程组的Liouville型定理;然后，在单位球上考虑该方程组系数为常数时的情形，根据前面得到的狭窄区域极值原理的思想和直接移动平面法的思想，证明了正解的径向对称性和单调性;最后，在全空间上得到了无穷远退化原理以及方程组的正解在全空间上的径向对称性.
　　第五部分，我们研究了Rn+1上带有孤立奇点的L调和函数和Rn上可容许的α-调和函数的一些性质.首先我们引入了L-调和函数和可容许α调和函数的定义，接着我们推导α调和函数的L延拓的Liouville型结论;然后我们分别在任意球和一般区域上建立α调和函数的L延拓的分解定理;最后我们把对带有孤立奇点的调和函数的B(o)cher定理推广到带有孤立奇点的α-调和函数.

目录

摘要

第一章 绪论

§1．1 研究背景和发展现状

§1．2 本文研究内容和主要结论

§1．3 预备知识

第二章 分数阶Lane-Emden型方程非负解的性质

§2．1 非负解的单调性

§2．2 Rn-1上正解的径向对称性

第三章 全空间和上半空间上一类带有扰动项的分数阶Hénon方程正解的性质

§3．1 全空间上正解的径向对称性

§3．2 上半空间中衰退条件下非负解的Liouville型定理

§3．3 Rn-1上正解的径向对称

第四章 带有分数阶扩散的Schr?dinger方程组正解的性质

§4．1 抛物区域上方程组的狭窄区域极值原理

§4．2 抛物区域上正解的单调性和不存在性

§4．3 单位球上正解的对称性和单调性

§4．4 全空间Rn上正解的径向对称性

第五章 具有孤立奇点的α-调和函数的分解

§5．1 准备工作

§5．2 分解定理

§5．3 α-调和函数的B?cher定理

第六章 结论

参考文献

致谢

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