辅助方程法及一些非线性发展方程（组）的精确解

摘要

随着科技的不断发展，在许多学科领域中存在着大量的非线性问题，其中一部分非线性问题是利用非线性微分方程来描述的。为了能深入地了解这些非线性微分方程的物理意义，获得方程的精确解就成为最为重要的一步。到目前为止，由于非线性微分方程的本身复杂性，还没有一个统一的方法来求得这些非线性微分方程的精确解。因此，非线性微分方程（组）的精确求解不论在理论上，还是在应用领域里仍是一个非常有研究价值的课题。
　　经过数学家和物理学家不懈的努力，现已发展出一系列用于求精确解的方法，如反散射方法、Darboux变换方法、Backlund变换方法、双线性方法、李群方法、齐次平衡法、Dressing方法、辅助方程法等等。在这些求解方法中，辅助方程法由于直接、简洁、有效，而广受重视。
　　本文主要借助于辅助方程法，对非线性发展方程求解问题进行了研究和探讨，主要研究：
　　（1）分别利用具单个高次项的辅助方程和具两个高次项的辅助方程求解了gKdV-qRLW方程、gKawahara方程、广义对称正则长波方程以及gZakharov方程组和具任意次Klein-Gordon-Zakharov方程组。
　　（2）将F/G-展开法做了推广，利用推广的F/G-展开法求解了变系数mKdV方程、变系数KdV方程和（3+1）维三次-五次Gross-Pitaevskii方程，得到了方程的精确解。

目录

声明

第1章 绪论

1.1 非线性发展方程(组)的精确求解与辅助方程法

1.2 本文的研究内容

第2章 高次辅助方程及其应用

2.1 高次辅助方程简介

2.1.1 具单个高次项的辅助方程

2.1.2 具两个高次项的辅助方程

2.2 几个具单高次项的微分方程的精确解

2.2.1 gKdV-qRLW方程的精确解

2.2.2 gKawahara方程的精确解

2.2.3 广义对称正则长波方程的精确解

2.3 两个Zakharov类方程组的精确解

2.3.1 gZakharov方程组的精确解

2.3.2 具单个高次项的广义Klein-Gordon-Zakharov方程组的精确解

2.4 具任意次Klein-Gordon-Zakharov方程组的精确解

2.4.1 第一种广义Klein-Gordon-Zakharov方程组的精确解

2.4.2 第二种广义Klein-Gordon-Zakharov方程组的精确解

第3章 F/G-展开法及其应用

3.1 F/G-展开法的推广

3.1.1 推广F/G-展开法

3.1.2 F/G-展开法与G′/G-展开法比较

3.2 变系数mKdV方程和变系数KdV方程的精确解

3.2.1 变系数mKdV方程的精确解

3.2.2 变系数KdV方程的精确解

3.3 （3+1）维三次-五次Gross-Pitaevskii方程的精确解

第4章 总结与展望

参考文献

致谢

攻读学位期间的研究成果