具有另一个Q-多项式结构的超立方体及相关的Leonard三元组

摘要

熟知直径D为偶数的超立方体H(D，2)有两种P-多项式结构和两种Q-多项式结构.设A0，A1，…，AD为H(D，2)的原P-多项式结构，其中Ai(0≤i≤D)是H(D，2)的第i个距离矩阵.设E0，E1，…,ED为H(D，2)的原Q-多项式结构，其中Ei(0≤i≤D)是H(D，2)的第i个本原幂等元.超立方体H(D，2)还有另一个P-多项式结构A0，AD-1，A2，…，AD和另一个Q-多项式结构E0，ED-1，E2，…，ED.本文考虑具有原P-多项式结构A0，A1，…，AD和另一个Q-多项式结构E0，ED-1，E2，…，ED的超立方体.此时，我们记该图为H(D，2)'.
　　设D为大于3的偶数，X为H(D，2)'的顶点集.显然，Ai(0≤i≤D)为H(D，2)'的第i个距离矩阵.其中A1为邻接矩阵，记A=A1.取定X中的一个顶点x，设Bi=Bi(x)(0≤i≤D)表示H(D，2)'关于点x的第i个对偶距离矩阵.其中B1为对偶邻接矩阵，记B=B1.注意:当i为奇数时，Bi=A*D-i;当i为偶数时，Bi=A*i.其中A*i=A*i(x)为Matx(C)中的对角矩阵且其(y，y)-元素为(A*i)yy=|X|(Ei)xy(y∈X).设Fi(0≤i≤D)表示H(D，2)'的第i个本原幂等元.注意:当i为奇数时，Fi=ED-i;当i为偶数时，Fi=Ei.设F*i=F*i(x)(0≤i≤D)为H(D，2)'的第i个对偶幂等元.显然，F*i=E*i.其中E*i=E*i(x)(0≤i≤D)是H(D，2)关于点x的第i个对偶幂等元.设T是由A和B生成的Matx(C)的子代数.我们称T为H(D，2)'关于点x的Terwilliger代数.本文构作了H(D，2)'关于点x的虚拟邻接矩阵Bε=(AB+BA)/2，并且证明了矩阵A和B满足:BBε+BεB=2A,ABε+ BεA=2B.我们给出了三元组(A，B，Bε)作用在既约T-模W上的六组基下的表示矩阵.特别地，证明了三元组(A，B，Bε)作用在既约T-模W上是一个Leonard三元组.最后，我们给出了既约T-模W六组基中向量的内积.

目录

声明

摘要

引言

第一章 预备知识

1．1 距离正则图

1．2 Terwilliger代数和T-模

1．3 Leonard对与Leonard三元组

第二章 超立方体及其性质

2．1 超立方体

2．2 具有另一个Q-多项式结构的超立方体

第三章 虚拟邻接矩阵

3．1 具有另一个Q-多项式结构的超立方体的虚拟邻接矩阵

3．2 具有另一个Q-多项式结构的超立方体的虚拟邻接矩阵的本原幂等元

第四章 邻接矩阵、对偶邻接矩阵、虚拟邻接矩阵在W上的作用

4．1 既约T-模W的六组基

4．2 邻接矩阵、对偶邻接矩阵、虚拟邻接矩阵在W六组基上的作用

4．3 既约T-模W六组基中向量的内积

结论

参考文献

致谢