关于矩阵Khatri-Rao积的若干不等式

摘要

矩阵不等式作为一个广阔的数学领域，从某种意义上说不等式比等式有更大的用处。本文研究了一种矩阵块Kronecker积—Khatri-Rao积，建立了若干关于这种矩阵乘积的矩阵不等式、特征值不等式以及迹不等式。　　本文的主要内容分为三个部分。　　第一部分，首先给出了两个矩阵的Khatri-Rao积与Kronecker积之间的关系表达式：A()B=RTnp(A()B)Rmq，其中Rnp，Rmq为部分置换矩阵，并得到关于部分置换矩阵Rnp的几个性质；然后利用这关系得到一些关于两个矩阵的Khatri-Rao积的矩阵不等式。最后推广到多个矩阵Khatri-Rao积的情形，其部分置换矩阵利用递推公式表达出来。　　作为矩阵的乘积，普通乘积最常见。在矩阵Hadamard积与普通乘积的特征值之间已建立了许多著名的不等式。由于矩阵Khatri-Rao积乘积后阶数变大，故类似的情况一般不成立。本文利用子矩阵与原矩阵特征值的交错定理、Schur定理的Khatri-Rao积的推广形式以及矩阵Kronecker积的特征值的性质等建立了矩阵Khatri-Rao积与普通乘积特征值的不等式。这是本文的第二部分。　　矩阵迹的不等式在矩阵理论和数值计算中有着十分重要的作用。在1976年Lieb等人建立了半正定矩阵的普通乘积的迹不等式：tr(AB)α≤tr(AαBα)，α≥1；王伯英和张福振在1995年将其推广到半正定矩阵Hadamard积的情形。我们在第三部分建立了矩阵Khatri-Rao积的迹的不等式。首先建立了半正定矩阵的Khatri-Rao积的迹不等式；然后建立了Hermitian矩阵的Khatri-Rao积的迹不等式。

目录

摘要

第一节引言

第二节预备知识

第三节矩阵Khatri-Rao积的矩阵不等式

第四节矩阵Khatri-Rao积的特征值不等式

第五节矩阵Khatri-Rao积的迹不等式

致谢

参考文献

附录

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