弱HC-子群对有限群结构的影响

摘要

设H为有限群G的一个子群，称H在G中弱正规，如果对于G中任意一个元g，当Hg≤NG(H)时必有g∈NG(H);称H在G中弱HC，如果存在N(≤)G，使得G=HN，且H∩N是G的弱正规子群，这时也称H为G的一个弱HC-子群.
　　由于子群的性质和群的结构息息相关，因此本文主要利用某些特殊子群（如Sylow-子群，素数阶子群，4阶循环子群）的弱HC性来研究群的p-幂零性，超可解性，得到了有限群p-幂零，超可解的若干充分条件和充要条件，推广了若干文献的一些相关结果.
　　根据内容，本文共分为两章.
　　第一章主要介绍本文所涉及问题的研究背景，对C-正规子群，弱正规子群以及H-子群与弱HC-子群之间的关系进行了讨论，并给出一些基本定义及相关引理，应用这些引理我们得到关于弱HC-子群的一些性质和定理.
　　第二章主要利用群的素数阶子群和4阶循环子群的弱HC性得到有限群p-幂零和超可解的一些充分条件和充要条件.主要结果如下:
　　引理1.2.2令N，K，H是G的子群.
　　(1)若H≤K≤G，且H是G的弱HC-子群，则H也是K的弱HC-子群;
　　(2)若N(≤)G且N≤H，则H是G的弱HC-子群当且仅当H/N是G/N的弱HC-子群;
　　(3)若H是G的一个p-子群且H是G的弱HC-子群，N是G的一个正规p'-子群，则HN与HN/N分别是G与G/N的弱HC-子群.
　　定理2.1.1设p是|G|的最小素因子，P是G的一Sylowp-子群.若P*(P)中的每个元素是群G的弱HC-子群，则G为p-幂零群.
　　定理2.1.8设G是有限群.p是一个固定的素数且Pp(G)中每一个元素含于Z∞(G).另外，若p=2，假设P4(G)中每个元素是群G的弱HC-子群或者含于Z∞(G)，则G为p-幂零群.
　　定理2.1.13设N(≤)G使得G/N为p-幂零群.其中p是一个固定的素数，且Pp(N)中每个元素含于Z∞(G).另外，若p=2，假设P4(N)中每个元素是群G的弱HC-子群或者含于Z∞(G)，则G为p-幂零群.
　　定理2.1.18设p是|G|的最小素因子，P是G的一Sylowp-子群.若Pp(P∩G')中每个元素以及P4(P∩G')中每个元素均是群G的弱HC-子群，则G为p-幂零群.
　　定理2.1.19设p∈π(G),满足(|G|，p-1)=1，则G是p-幂零群当且仅当存在G的一个正规子群N，使得G/N是p-幂零群且Pp(N)中每个元素以及P4(N)中每个元素是群G的弱HC-子群.
　　定理2.2.1设G为有限群.若P*(G)中的每个元素是群G的弱HC-子群，则G为超可解群.
　　定理2.2.2设N(≤)G使得G/N超可解.若P*(N)中的每个元素是群G的弱HC-子群，则G为超可解群.
　　定理2.2.3设N(≤)G使得G/N超可解.若P是N的一Sylowp-子群且P*(P)中的每个元素是群G的弱HC-子群，则G为超可解群.

目录

摘要

第一章 绪论

§1．1 引言和基本结果

§1．2 主要引理

第二章 主要结果

§2．1 弱HC-子群与群的p-幂零性

§2．2 弱HC-子群与群的超可解性

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文

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致谢

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