欧式期权定价的一种基于插值法的算法

摘要

随着经济的不断发展,各种各样的金融衍生品涌现出来,如:股票,期货,期权等.在许多情况下,套期保值者和投机者都发现交易某项资产的衍生证券比交易资产本身更具有吸引力.在金融市场上,金融衍生品的交易越来越频繁,尤其是关于期权的交易,因此期权的定价问题也越来越受金融届的关注.至今为止,关于定价的模型已经有很多种,而且部分模型能够求得其解析解.但是随着定价模型的完善(考虑了更多的因素,因此模型变得更加复杂),解析解的推导越来越复杂,加上计算机的性能越来越好,而且越来越普及,定价问题的数值解法越来越受到重视.
　　欧式期权是期权当中最简单也是最重要的一种.在一定条件下,跳跃-扩散模型中的欧式上涨期权满足一个偏微分-积分方程(partial integro-differential equation,简记PIDE).最近,Sachs和Strauss的论文和Pang等的论文研究了应用预处理共轭梯度法求解PIDE.通过对PIDE进行离散:微分用有限差分代替,积分采用梯形公式离散,将PIDE转化为一系列的线性方程组,然后应用预处理共轭梯度法求解这些线性方程组.本文利用多项式插值的技巧对系数矩阵进行近似,得到近似程度不同的两个近似矩阵,然后再用剩余校正法进行求解.与Sachs和Strauss的论文和Pang等的论文的算法比较,我们的算法可以大大减少计算时间.
　　本文分为二章,主要内容安排如下:
　　第一章先介绍本文的研究背景和前人得到的一些研究结果,包括PIDE方程的产生和演变,以及预处理共轭梯度法和剩余校正法等迭代方法.
　　第二章详细介绍PIDE的离散和二元函数的分片插值,以及如何通过分片插值得到线性方程组的系数矩阵的近似矩阵.然后考虑用剩余校正法求解近似的线性方程组,最后给出数值结果,并同Pang等的方法进行比较.

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第 1 章 基础知识和研究背景

1.1 相关迭代法的介绍

1.2 期权基础知识介绍

1.3 问题的产生背景及研究现状

第 2 章 PIDE 的一种新的解法

2.1 PIDE 的离散

2.2 线性方程组的一种快速算法

2.3 数值例子

2.4 小结

参考文献

致谢

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