分数阶常微分方程的高阶多步法和变分数阶扩散方程的数值方法

摘要

分数微积分的出现已有300多年的历史，它的应用领域很广，包含各种材料的记忆、力学和电特性描述、地震分析、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、机器人、电子电路、电解化学、分数电容理论、电极电解质接口描述、分形理论，特别是描述自相似和多孔结构的动态过程、分数阶控制器设计、弹粘性系统和柔软构造物体的振动控制、分数阶生物神经元和概率论等。分数阶微分方程的特点是含有非整数阶导数，能非常有效的描述各种各样的物质的记忆和遗传性质，在工程，物理，金融，水文等领域发挥越来越重要的作用。 这篇文章主要由下面几个部分组成。 绪言部分介绍了关于分数阶微积分的一些预备知识，给出了分数阶微积分一些基本定义和性质。 接下来的第二章中，首先从基本的分数阶常微分方程出发，对Lubich提出的一个关于分数阶导数的高阶近似，将其应用于分数阶微分方程，构造高阶数值差分格式来进行分数阶微分方程的数值求解，并在理论上给出这一算法的误差分析，证明了它的相容性，收敛性和稳定性。 第三章对于一个推广到分数阶的松驰方程，直接利用Grünwald-Letnikov分数阶导数定义进行离散，得到分数阶松驰方程一个数值方法，并给出了相容性，收敛性和稳定性的证明。 在第四章中，进一步的考虑更复杂的非线性分数阶常微分方程，同样利用的是Lubich提出分数阶导数的高阶近似，构造相应的数值格式，并给出这一算法的误差分析，即相容性，收敛性和稳定性的证明。 第五章考虑变分数阶的微分方程，在近来提出的一些模型中，分数阶导数的阶数会随着时间或空间的变化而变化，因此在最后一章中我们讨论基于Riesz分数阶导数的一类变分数阶扩散方程，给出求解这样一个方程的一个数值方法，并对其相容性，收敛性和稳定性进行了证明。

目录

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第一章绪论

1.1引言

1.2分数阶积分

1.3 Riemann-Liouville分数阶导数

1.4 Gr(u)nwald-Letnikov分数阶导数

1.5其他的一些定义

1.6分数阶微积分的一些性质

1.6.1 幂函数以及一些常见函数的分数阶微积分

1.6.2分数阶算子的复合运算

1.6.3分数阶导数的积分变换

第二章分数阶常微分方程的高阶数值方法

2.1分数阶常微分方程

2.2分数阶导数的离散

2.3分数阶常微分方程的数值方法

2.4分数阶线性多步法的误差估计

2.4.1预备部分

2.4.2相容性，收敛性和稳定性

2.5数值例子

第三章分数阶松驰方程的数值方法

3.1引言

3.2相容性

3.3稳定性

3.4收敛性

3.5数值例子

第四章非线性分数阶常微分方程的高阶方法

4.1高阶分数阶线性多步法

4.2相容性

4.3收敛性

4.4稳定性

4.5数值例子

第五章非线性变分数阶扩散方程的显式差分近似

5.1非线性变分数阶扩散方程

5.2方程的显式差分近似

5.3预备引理

5.4收敛性

5.5稳定性

5.6数值例子

参考文献

致谢

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