几何优化算法及其在球面参数化上的应用

摘要

最优化是应用数学的重要研究领域。它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素，使得某些指标达到最优的一类学科的总称。在计算机图形学领域，有许多问题可以转化为最优化问题求解，例如曲面拟合、网格参数化、模型变形动画和重新网格化等等。本文着重基于网格参数化问题，讨论几何优化算法的设计。本文通过对球面参数化这一具体问题的研究，提出了一类定义在球面上高度函数几何优化问题的求解框架。
　　曲面网格参数化主要分为两大类:平面参数化和球面参数化。平面参数化就是研究如何把一个空间上的曲面网格模型有效地展开平铺到平面网格模型的过程，而球面参数化则是直接把封闭的曲面网格映射到单位球面上的过程。平面参数化具有简单稳定的特点且已经得到深入的研究，因此本文整个框架是基于球面参数化问题提出一个高效的几何优化算法。在genus-(O)的封闭曲面的几何建模和处理中，球面映射是一个关键的技术。球面参数化就是为了找到给定genus-(O)封闭曲面M和单位球面域S之间的映射，使得该映射是双射映射。实体模型中有非常大的一部分类别是属于没有柄和空洞的。对于这些模型曲面球面参数化不需要像平面参数化那样先把模型切开，因此球面就自然地成为了这些模型曲面的参数域。球面参数化可以提供无缝的连续的参数化，这样的参数化表示在几何建模及处理的操作中有很好的应用，例如曲面重新网格化、变形动画和形状分析等等。
　　本文设计了一个高效的分层优化算法框架应用于球面参数化问题。与其他优秀的球面参数化算法相比，我们的方法既保证了一一映射又能使面积和角度扭曲同时达到较小，并且有效地保证了算法的收敛性。因此我们的分层优化算法可以用来处理大型的几何模型数据，而且对于复杂几何结构（例如带长尖突出物）的模型的鲁棒性高。同时，本文还提出了任意几何拓扑结构曲面的球面参数化框架。我们通过球谐函数计算证明了我们算法的正确性和有效性，同时也对球面参数化在形状分析上的应用做了简单探索。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 球面参数化概述

1．2 相关工作

1．3 本文主要工作与主要贡献

1．4 文章结构

第二章 计算机图形学中常用数据结构和数学知识与优化算法简介

2．1 计算机图形学中常用的数据结构和必备的数学知识

2．1．1 半边数据结构

2．1．2 亏格(Genus)

2．1．3 微分几何基本知识

2．1．4 球面核(Spherical Kernel)

2．1．5 球谐函数

2．2 优化算法简介

第三章 球面参数化扭曲程度度量

3．1 几类映射介绍

3．1．1 等距映射

3．1．2 保角映射

3．1．3 等面积映射

3．2 角度和面积扭曲度量

第四章 分层渐进式球面参数化优化算法

4．1 算法综述

4．2 全局分层优化

4．3 局部顶点优化

4．4 优先队列应用

4．5 映射双射性

4．6 优化算法收敛性分析

4．7 球面参数化实验结果

第五章 任意拓扑结构曲面模型的球面参数化

5．1 任意拓扑结构表面球面参数化

5．2 曲面拓扑Handle和Tunnel环

5．3 曲面的切割与粘合

5．4 实验结果

第六章 球面参数化应用

6．1 曲面重建

6．1．1 球谐分解与重建

6．1．2 重建精度分析

6．2 利用球谐函数进行变形分析

6．3 本章小结

第七章 总结与展望

7．1 论文工作总结

7．2 研究工作展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的学术论文

致谢