非线性SDP的广义弱尖锐性及应用

摘要

弱尖锐性主要是研究一些凸规划模型中扰动问题的稳定性，也是求解凸优化问题中算法收敛性的一种重要工具。2006年8月，Nemirovski在世界数学家大会上介绍了线性对称锥优化问题的理论和应用，由此对称锥优化问题引起了国内外优秀学者的关注，并对其进行了理论和算法等方面的相关研究。半正定锥约束的优化问题（简称SDP）作为一种特定的对称锥优化问题，具有一定的研究意义。本文主要研究了非线性SDP的广义弱尖锐性、非线性SDP广义Ⅰ型（弱）尖锐性、非线性SDP的全局误差界以及他们之间存在的关系。 主要工作如下： 第一部分，首先，我们引入了非线性SDP（简称NLSDP）的广义弱尖锐性的概念。然后，我们给出了该问题在Banach空间和Hilbert空间中具有NLSDP广义弱尖锐性的一些充分条件、必要条件和充要条件。此外，我们引入了一种求解算法，证明了该算法在满足NLSDP广义弱尖锐性的条件下是具有有限时间收敛性的。最后，我们给出了线性SDP（简称LSDP）具有广义弱尖锐性的概念，并证明了具有LSDP广义弱尖锐性的几个等价命题。 第二部分，对于NLSDP中不可行点的求解算法的研究。首先，我们引入了NLSDP在n维欧式空间里的全局误差界的概念。然后，将NLSDP问题看作一个凸不等式系统，我们证明了满足度量正则条件下的几个等价命题。最后，借助度量正则性和凸分析的工具，我们证明了NLSDP全局误差界在一定条件下可以转化为NLSDP的广义弱尖锐性。 第三部分，为了给不可行内点算法提供一种收敛性分析工具，首先，我们利用变分分析的方法给出了NLSDP的广义I型尖锐性和广义I型弱尖锐性的定义，刻画了具有NLSDP广义I型弱尖锐性的一些性质。然后，我们利用罚函数、对偶理论建立了NLSDP广义I型尖锐性与强Lagrange乘子的存在性之间的关系。最后，在广义Slater约束条件成立下，用强Lagrange乘子的存在性来描述NLSDP的解集，推广了锥约束优化问题中最优解的拉格朗日乘子集和该问题具有广义弱尖锐性之间的关系。

目录

1.绪论

1.2本文的研究动机和主要工作

1.2.2主要工作

1.3基本假设和预备知识

2 SDP的广义弱尖锐性

2.2非线性SDP的弱尖锐性的条件

2.3非线性SDP的求解算法及其收敛性分析

2.4线性SDP的广义弱尖锐性

3非线性SDP的全局误差界与广义弱尖锐性的关系

3.2.1度量正则性

3.2.2NLSDP的全局误差界与广义弱尖锐性

4 NLSDP的广义Ⅰ型弱尖锐性及其Lagrange乘子的存在性

4.1NLSDP的广义Ⅰ型弱尖锐性定义及其问题的描述

4.2NLSDP的强Lagrange乘子的存在性

5结论及展望

参考文献

附录A:作者攻读硕士学位期间发表论文及科研情况

致谢

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