Markov积分半群的弱对称性和扰动逼近及带迁移的Markov对偶分支过程

摘要

关于Markov过程理论的研究，历来有概率方法和分析方法。近年来，数学家们以算子半群理论作为工具来研究Markov过程理论，并取得了丰富的成果。本文着力于使用分析的方法，以算子半群理论为工具，研究Markov积分半群的弱对称性、扰动和逼近及带迁移的Markov对偶分支过程。
　　 由Anderson[1]知道转移函数P(t)是l1空间上正的强连续压缩半群，但P(t)一般来说不是l∞空间上的强连续半群，而P(t)是l∞上强连续半群的充要条件是q-矩阵Q是l∞上的一致有界q-矩阵。这是一种平凡的情形，实际生活中所遇到的参数连续Markov链所对应的q-矩阵通常都不满足此性质。Anderson[1]认为l∞空间太大了，不可能在其上得到一些有用的结果。因此，当我们在l∞空间上考虑时，强连续半群并不是研究参数连续Markov链的一个好工具，而文献[3]介绍的Markov积分半群来研究Markov链则恰好。
　　 由参数连续Markov链理论知道，参数连续Markov链与转移函数是一一对应的，即给定一个Markov链，存在与之相对应的转移函数；反之，给定一个转移函数，我们能构造一个Markov过程，使得此转移函数就是该Markov过程相对应的转移函数。因此，我们要研究参数连续Markov链可通过研究其对应的转移函数来完成。并且从已有成果来看，Anderson[1]得到转移函数P(t)与l1空间上的正的强连续压缩半群是一一对应的；Y.R Li[3]得到转移函数与l∞空间上的正的一次强压缩积分半群(我们称作Markov积分半群)是一一对应的；从而搭起了半群与Markov链之间的桥梁。可见，半群是与转移函数直接联系的。以此为启示，我们可以通过转移函数来研究Markov积分半群。
　　 本文第二章引入了Markov积分半群的弱对称性，对于一个单流出保守的Q-矩阵，给出了Markov积分Q-半群忠实且弱对称的充要条件。并且给出了最小的弱对称Markov积分Q-半群的广义Kendall-表示；特别地，如果Q是生灭q-矩阵，还给出了弱对称Markov积分Q-半群的Karlin-McGregor表示。在第二章中我们得到如下结果：
　　 定理2.2.2设Q是一个保守单流出[即，dim l∞+(λ)=1，(A)λ＞0]q-矩阵，rij(λ)是最小的Q-预解函数，令zi(λ)=1-λ∑rij(λ)，i∈E，λ＞0。则以下陈述等价：
　　 (1)存在忠实且弱对称的Markov积分Q-半群T(t)=(Tij(t))。
　　 (2)Q是弱对称的，其对称测度{mi，i∈E}满足Σmizi(λ)＜∞[{mi，i∈E}也是Tij(t)的对称测度]。
　　 当这样一个忠实的Tij(t)存在时，它是唯一的并且它的预解算子R(λ，Ω)由l∞上的R(λ，Ω)=φ(λ)=(φij(λ))给出，其中φij(λ)=rij(λ)+zi(λ)zj(λ)mj/λ∑k∈Emkzk(λ))
　　 定理2.3.1设T(t)=(Tij(t))是最小的Markov积分Q-半群，并且假设T(t)=(Tij(t))是弱对称的，其对称测度是mi，i∈E。则对于任意一对i，j∈E，存在[0，∞)上的有限测度γij(如果i=j则成为概率)满足Tij(t)=√mj/mj∫0∞1-e-tx/xdγij(x)
　　 定理2.3.2设Q是不可约的生灭q-矩阵，T(t)是弱对称的Markov积分Q-半群，其转移函数Pij(t)满足前项和后项方程(比如最小Q-函数)。则存在支集在[0，+∞)中的概率分布函数Ψ(x)满足
　　 Tmn(t)=πn∫0∞1-e-tx/xQm(x)Qn(c)dΨ(x)，m，n≥0，t≥0.
　　 其中πn={1λ0λ1…λn-1/μ1μ2…μn如果n=0如果n≥1
　　 第三章中给出了Markov积分半群上的广义Phillips扰动定理和Trotter-Kato逼近定理。由Phillips扰动定理，如果A是一个C0半群的生成元，B∈B(X)，那么A+B也是。但是对于积分半群的生成元，这个结论就不再成立了，文献[4,5]中有相关反例。因此在Markov积分半群的生成元上加一个有界算子不再生成一个Markov积分半群，从而有必要在有界算子B上加其他条件。在第三章我们得到如下结果；
　　 定理3.1.1设A是l∞上Markov积分半群T(t)的生成元，B1∈B(l1)是正的(即将正元素集l1+映入其本身)耗散算子，则A+B，B=B1*，是l∞上Markov积分半群V(t)的生成元。
　　 定理3.2.1设Tn(t)，n∈N是一列Maxkov积分半群，pn(t)是Tn(t)所对应的转移函数，An是pn(t)在l1上的生成元。如果存在λ0满足Reλ0＞0，并且：
　　 (i)n→∞时，R(λ0∶An)x→R(λ0)x，x∈l1；(ii)算子R(λ0)的值域在l1中稠密。
　　 则存在唯一一个算子A∶A生成l1上的压缩C0半群P(t)，并且满足R(λ0)=R(λ0∶A)。如果T(t)是P(t)所对应的Markov积分半群，则n→∞时，Tn(t)x→T(t)x，t≥0，x∈l∞。
　　 第四章引入了一类新的对偶分支过程-带迁移的Markov对偶分支过程(DBPI)，证明了对于其给定的Q-矩阵只存在唯一的Q-转移函数，给出了刻画带迁移对偶分支过程常返性的充要条件及正常返性的必要条件，并且给出了计算灭绝概率和平均灭绝时间的公式。在本文第四章我们得到很好的结果：
　　 定理4.1.2设P(t)=(Pij(t)，i，j∈Z+)是最小的Q-函数，其中Q是带迁移的Markov对偶分支q-矩阵。则P(t)=(Pij(t))是唯一的Q-函数，并且P(t)是忠实和单调的。
　　 定理4.2.1带迁移的Markov对偶分支过程是常返的当且仅当R=∞∑n=0Rn/a-na0=∞
　　 其中Rn由以下迭代定义R0=1和Rn=n-1∑r=0(r+1)an-r/a-ra0Rr，n≥1
　　 命题4.2.2如果带迁移的Markov对偶分支过程是正常返的，则(i)(A(1)+|a0|)＞|a0|，ifa＞|a0|，或(ii)(A(1)+|a0|)＞a，ifa＜|a0|。
　　 命题4.3.1设序列{ai(0)，i≥0}是以下方程的唯一解i+1i+1∑j=0qijaj(θ)=θai(θ)，i≥1(θ=0)满足初始条件 a0(θ)=0，a1(θ)=1令a=limi→∞ ai(0)。则a=1|a|∞∑k=0ak∞∑=0=0ak(0)
　　 因此，灭绝发生当且仅当∞∑κ=0ak=∞或∞∑κ=0ak(0)=∞
　　 如果a＜∞，我们有灭绝概率xij(0)=1-ai(0)/q，i≥0
　　 然而，真正有用的是通过{ak，κ≥0}来刻画灭绝[而不是涉及{ak(0)，k≥0}]，这正是下述定理的内容：用生成函数A(s)=∞∑k=0aksk，0≤s≤1通过解方程来实现。
　　 定理4.3.2(1)灭绝发生当且仅当lims-1u(s)=-∞(←→)lima-1∫s1|a0|/sA(s)1|a0|/sA(s)ds=∞其中u/(s)=|a0|aA(s).
　　 如果lina→1u(s)＞.-∞，则有a＜+∞，我们可得到灭绝概率：x*i(0)=(1/1-x-κ/a(1-s)eu(s))(i)(0)其中0＜κ=(lim→01/seu(a))-1＜+∞。
　　 (2)平均灭绝时间{m*i，i≥0}由以下式子给出：m*i=(1/(1-x)eu(s)[∫seu(s)/(1-s)A(s)ds+c])(i)(0)。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章引言和预备知识

§1.1引言

§1.2文献综述

§1.3预备知识

第二章Markov积分半群的弱对称性

§2.1 Markov积分半群的弱对称性

§2.2弱对称q-矩阵的刻画

§2.3弱对称Markov积分半群的表示

§2.4证明

第三章Markov积分半群的扰动和逼近

§3.1 Markov积分半群的扰动

§3.2 Markov积分半群的逼近

第四章带迁移的Markov对偶分支过程

§4.1唯一性

§4.2常返性

§4.3灭绝概率和灭绝时间

§4.4证明

第五章进一步的问题

References

后记