60p阶群的Thompson猜想

摘要

设G是一个有限群，πe(G)表示群G的元素阶的集合；αi(G)=|{g∈G|o(g)=i}|表示G中i阶元的个数，简记为αi；ρ(G)=(α1，………，αk，………，αs)表示G的阶型.
　　 考虑群的数量关系对有限群结构的影响是有限群论中一个重要课题.许多群论工作者在这方面做了大量的工作.如著名的Sylow定理，Lagrange定理，Burnside定理等.1987年施武杰教授提出了单群的纯数量刻画：仅用有限群元素阶的集合和有限群的阶来刻画有限单群.
　　 J.G.Thompson教授在给施武杰教授的一封信中提出了下面一个猜想：
　　 Thompson猜想：设G1与G2为同阶型的有限群，若G1可解，G2是否可解?
　　 一些群论工作者从群的最高阶元的个数出发来研究有限群，侧面对Thompson猜想进行了研究，得到了一些令人鼓舞的结果(参见文献[9]-[19])，但是，至今没有人对J.G.Thompson猜想给出证明，也没有举出反例.可见Thompson问题的解决是相当困难的.
　　 本文主要讨论了阶为60p的有限群是否满足Thompson猜想，从60p阶非可解群的结构入手，通过计算其阶型，得出与60p阶非可解群阶型相同的有限群必不可解，也即阶型与60p阶非可解群相同的可解群不存在，从而有阶型与60p阶可解群相同的有限群必可解.这里p是素数.最后我们还得出了阶不大于200的群满足Thompson猜想的推论.主要结论如下：
　　 定理3.660p(p为素数)阶非可解群G：
　　 (1)当p=2时，必同构于SL2(5)，S5或A5×Z2；
　　 (2)当p=11时，必同构于L2(11)或A5×Z5；
　　 (3)当p≠2，11时，必同构于A5×zp.
　　 定理4.1.1设|G|=120，则
　　 (1)ρ(G)=ρ(SL2(5))当且仅当G≌SL2(5)；
　　 (2)ρ(G)=ρ(S5)当且仅当G≌S5；(3)ρ(G)=ρ(A5×Z2)当且仅当G≌A5×Z2.
　　 定理4.2.1ρ(G)=ρ(A5×Z11)当且仅当G≌A5×Z11.
　　 定理4.3.1ρ(G)=ρ(A5×Zp)当且仅当G≌A5×Zp.其中p≠2，11.
　　 定理4.1设|G1|=60p，其中p为素数，ρ(G1)=ρ(G2)，若G1可解，则G2必可解.
　　 推论4.1设|G1|≤200，ρ(G1)=ρ(G2)，若G1可解，则G2必可解.

目录

文摘

英文文摘

声明

1引言

2预备知识

3 60p阶非可解群的结构

4 60p阶群的Thompson猜想

参考文献

攻读硕士学位期间发表的学术论文

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