分数价微积分运算器的设计与应用

摘要

分数阶微积分自1695年由Leibniz与Hospital提出以来，到现在已经有三百多年历史，它把传统整数阶微积分的阶次推广到分数甚至复数领域，因而分数阶微积分极大地拓展了传统微积分的概念，但由于计算复杂度比较高的原因，在其产生的最初完全局限于理论研究领域，且主要被数学家作为一种纯数学理论来研究。
　　 近年来随着研究的深入，分数阶微积分正逐渐应用于多个领域中：控制理论、信号处理、机械力学、电子学、地震信息处理、分形理论、电磁场理论等。特别是在信息科学领域中，一些新颖的应用被相继地提出，使得精确的实现实时分数阶微积分运算，成为目前研究的热点。
　　 本文是作者参与重庆市自然科学基金项目“分数阶控制系统理论与技术研究”(No.CSTC，2004BB2165)和重庆市教委自然科学基金项目“非整数阶系统控制模型及性能研究”(No：KJ060506)期间，对于分数阶微积分运算的实现及应用做出的一些初步的探讨，获得了一些研究成果。主要内容有：
　　 1、较为系统地分析和总结了分数阶微积分的基本理论，包括分数阶微积分运算的提出与发展历程、研究和应用现状、具有的性质、已提出的物理意义和几何意义解释、分数阶微分方程概念等等，研究了基于广义Laplace变换求取部分函数的分数阶微积分精确解的方案。
　　 2、将基于Riemann-Liouville定义形式的分数阶微积分算法进行推广，得到用于处理离散无限长序列的快速实时算法，提出基于DSP技术的滤波器实现方案，仿真结果表明上述方法是有效的。
　　 3、利用已经构造好的分数阶微积分器，研究了其在分数阶微分方程求解、分数阶线性系统性能研究等方面的应用。

目录

文摘

英文文摘

第一章 绪论

1.1 分数阶微积分发展概述

1.2 分数阶微积分的研究和应用现状以及所面临的问题

1.3 论文的研究内容、方法和意义

1.4 论文章节安排

1.5 论文中使用的一些数学记号

第二章 分数阶微积分的基本理论

2.1 整数阶微积分的相关理论

2.2 分数阶微积分的定义

2.2.1 分数阶微积分的提出

2.2.2 特殊函数及其性质

2.2.3 Riemann-Liouville(RL)分数阶微积分定义

2.2.4 Caputo分数阶微积分定义

2.2.5 Cauchy分数阶微积分定义

2.3 各种定义之间的转换关系

2.4 分数阶微积分的性质

2.5 分数阶微积分的一些应用

2.5.1 分数阶微分方程

2.5.2 分数阶微积分在其他方面的应用

第三章 已有的分数阶微积分计算方法

3.1 理想的分数阶微积分数字滤波器

3.2 已有的分数阶微积分数字滤波器设计方法

3.2.1 有理分式级连法设计IIR分数阶微积分数字滤波器

3.2.2 基于Taylor级数展开法设计FIR分数阶微积分数字滤波器

3.2.3 Tustin算子Muir迭代方法设计IIR分数阶微积分滤波器

3.3 利用FOURIER级数计算函数的分数阶微积分

3.4基于广义LAPLACE变换求取已知函数分数阶微积分的方案

3.4.1 利用广义Laplace变换法求取分数阶微积分

3.4.2 广义Laplace变换求取分数阶微积分的局限性

第四章 分数阶微积分数字滤波器的设计方案

4.1 基于RIEMANN-LIOUVILLE(RL)定义的滤波器算法

4.1.1 算法的理论推导过程及仿真实现

4.1.2 算法的优缺点

4.2 与已有分数阶微积分运算数字滤波器的比较

4.3 本章总结

第五章 分数阶微积分运算滤波器的应用

5.1 分数阶微积分应用概况

5.2 分数阶微积分运算应用于分数阶微分方程的求解

5.3 分数阶微积分滤波器应用于控制系统的性能分析

5.4 本章总结

第六章 总结与展望

6.1 全文总结

6.2 未来展望

攻读硕士学位期间参与的科研项目与论文发表情况

致 谢

参考文献

附 录