马氏体相变求解及其微结构特征

摘要

在Cu-Al-Ni 等形状记忆合金的拉伸试验中常会观察到非均匀分布的平行条带.这是发生马氏体相变的结果[1].描述马氏体相变的自由能是非凸的,存在多个稳定的相.实际情况中形状记忆合金受加载时常出现多相混合的情况,即对应的非均匀分布的平行条带.三维马氏体相变问题很复杂难以求解,而一维问题在一定程度上能解释马氏体相变的机理,故一维马氏体相变问题在国际上有不少的研究.但即使一维问题的求解仍有困难,其对应的Euler-Lagrange 变分问题的求解在数学上有困难,一般用数值方法求解[2][3].但数值方法无法确定多解分岔的出现,且收敛性往往不易保证.除求解困难外,国际上对马氏体相变过程中产生的多界面多相混合的微结构特征仍不清楚.本文采用对非线性偏微分方程比较有效的同伦方法(Homotopy Analysis Method)[4][5]得到一维准静态马氏体相变的解析级数解.Xuan et al[5]首次将同伦方法应用于马氏体相变问题中,得到非均匀变形的级数解,以及分岔条件的解析表达式,即非均匀解存在时相界面数与边界加载的范围及其随参数的影响.本文首先简述同伦方法求解马氏体相变问题的基本方法,并用有限差分法验证了其正确性,最后解析解讨论末端加载,材料参数对微结构,能量的影响.一维准静态马氏体相变问题的自由能为,其中W(ux)为双井自由能,后二者分别为界面能和非均匀能.根据同伦方法[4][5],做变换,其中A=0时只有均匀解,A>0时有非均匀解即分岔发生.变化后的"hard device"[1]边界条件下的方程是得到分岔条件如下及图1得到变形场的解析解和分岔条件后,我们研究微结构特征随末端位移和材料参数的影响.图2 中,不同界面数下,界面宽度随末端位移单调递增.图3 中,不同界面数下,应变振幅随末端位移单调递减.图4 中,总能量随不同界面能系数的影响.限于篇幅此处只罗列了少数结果.